怀仁一中高三数学(理科)学案
编号 72 班级 姓名 主编:马维有审核:
课题:抛物线的标准方程和几何性质
一、学习目标:
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
二、重点、难点:1.抛物线的标准方程及其几何性质。
2.抛物线的几何性质的应用。
三、导读、导思:
1、抛物线的定义、方程和性质
定义:
标准方程:
图形:
顶点:
对称轴:
焦点:
离心率:
标准方程:
通径:
焦半径:
[注意]①圆锥曲线的统一定义:
在平面内,若动点到定点和一条定直线的距离的比为常数,它的轨迹为圆锥曲线。当时,点的轨迹是椭圆;当时,点的轨迹是抛物线;当时,点的轨迹是双曲线。
②对抛物线标准方程的理解。
a.是抛物线的焦点到准线的距离,所以的值永远大于0。b.只是顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程。c.抛物线的开口方向取决于一次项变量(或)的取值范围。如抛物线,一次项变量,所以抛物线开口向下。d.顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,其值为。e.一次项变量为(或),则焦点在轴(或轴)上。若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦点在负半轴上。
③抛物线方程的铺设方法:
焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一写成;焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一写成。这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解。
2、抛物线的标准方程与几何性质的应用
求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法,需要注意的是:①当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种;②要注意把握对抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系;③要注意焦参数的几何意义,并利用它的几何意义来解决问题,特别是当顶点不在原点时,更要注意利用参数的几何意义,以及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为来求其方程。这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解。反过来,也要注意由抛物线方程读出有关信息,如参数及顶点坐标,进而求出有关几何性质。
四、导练:
1、已知抛物线的焦点是,点是抛物线上的动点,又有点,求的最小值,并求出取最小值时点的坐标。
2、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程。
⑴过点;
⑵焦点在直线上;
⑶开口向下的抛物线上一点到焦点的距离等于5。
3、如图所示,过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,自向准线作垂线,垂足分别为。
⑴求证:;
⑵记的面积分别为,试判断是否成立,并证明你的结论。
五、达标训练:
1、给出抛物线,其焦点为,坐标原点为,则在抛物线上使得为等腰三角形的点有 个。
2、设抛物线焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么